10th Class Algebra(ବୀଜଗଣିତ ) - Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex 1(a) All Question With Answer

(i) x + y = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ___________ । [(4, 5), (5, 5), (- 4, 4), (-4, 5)]
(ii) x – 2y = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ___________ । [(4, 2), (- 4, 2), (4, – 2), (- 4, – 2)]
(iii) 2x + y + 2 = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ___________ । [(0, 2), (2, 0), (- 2, 0), (0, – 2)]
(iv) x – 4y + 1 = 0 ହେଲେ x = ______ । [4y-1, 4y+1,-4y + 1, -4y – 1]
(v) 2x-y+2 = 0 ହେଲେ y = ______ । [2x – 2, 2x + 2, 2x – 2, – 2x – 2]
(vi) x-2y + 3 = 0 ହେଲେ y = ______ । [½(x + 3), – ½(x – 3), – ½(-x + 3), – ½(x + 3)]

Ans:
(i) (- 4, 4), (ii) (4, 2), (iii) (0, – 2), (iv) 4y – 1, (v) 2x + 2, (vi) 1⁄2 (x + 3)

(ii) x – 2y = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ (4, 2) ଓ (- 4, -2) (କାରଣ x = 2y)

(iii) 2x + y + 2 = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ (0, -2) (କାରଣ 2x = -(y+2))

(iv) x – 4y + 1 = 0 ⇒ x = 4y – 1

(v) 2x – y + 2 = 0 ⇒ 2x +2 = y ⇒ y = 2x + 2

(vi) x-2y+3 = 0 ⇒ x + 3 = 2y ⇒ y = ½(x +3)

(i) ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ
(ii) ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ଏବଂ
(iii) ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ?
(i) x + y + 1 = 0, x – y + 1 = 0
(ii) x + y + 1 = 0, 2x + 2y + 2 = 0
(iii) x + y + 1 = 0, x + y + 3 = 0
(iv) 2x – y + 3 = 0, – 4x + 2y – 6=0
(v) 2x – y + 3 = 0, 2x + y -3 = 0
(vi) 2x – y+3 = 0, – 6x + 3y+5=0
ସମାଧାନ :
a₁x+by+ c₂ = 0 ଏବଂ a₂x + b₂y + c₂ = 0 ସମୀକରେ
(i) ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ, ଯଦି \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} ହେବ
(ii) ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ, ଯଦି \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} ହେବ ଏବଂ
(iii) ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ, ଯଦି \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} ହେବ ।
(i) ସହସମୀକରଣ ହେବ (a) x + y + 1 = 0 ଏଠାରେ a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = 1
(b) x – y + 1 = 0 ଏବଂ a₂ = 1, b₂ = – 1, c₂ = 1
\therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2} = 1, \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-1} = -1
ଏଠାରେ \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} ହେତୁ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ।
(ii) ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ x + y + 1 = 0 ଓ 2x + 2y + 2 = 0
ଏଠାରେ a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = 1 ଏବଂ a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = 2
\therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} ହେତୁ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।

(iii) ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ x + y + 1 = 0 ଓ x + y + 3 = 0
\text{ଏଠାରେ} a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = 1 \text{ଏବଂ} a_2 = 1, b_2 = 1, c_2 = 3
\therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} ହେତୁ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

(iv) 2x – y + 3 = 0 ଓ – 4x + 2y – 6 = 0
\text{ଏଠାରେ} a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3; a_2 = -4, b_2 = 2, c_2 = -6
\therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} ହେତୁ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ।

(v) 2x – y + 3 = 0, 2x + y – 3 = 0
\text{ଏଠାରେ} a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3; a_2 = 2, b_2 = 1, c_2 = -3
\therefore \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} ହେତୁ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

(vi) 2x – y + 3 = 0, -6x + 3y + 5 = 0
\text{ଏଠାରେ} a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3; a_2 = -6, b_2 = 3, c_2 = 5
\therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} ହେତୁ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

(i) x – y = 0
(ii) x + y = 0
(iii) x – 2y = 0
(iv) x + 2y – 4 = 0
(v) x – 2y – 4 = 0
(vi) 2x – y + 4 = 0

ସମାଧାନ : ଏକଘାତୀ ଦୁଇ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ସମୀକରଣର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଥାଏ ।
(i) x – y = 0
⇒ x = y ⇒ y = x

x	1	-2	3
y	1	-2	3

‘x’ର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନପାଇଁ yର ଆନୁସଙ୍ଗିକ ମାନ ସାରଣୀରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇଛି ।
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ପାଇଁ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (1, 1), (- 2, · 2) ଏବଂ (3, 3) ।

(ii) x + y = 0
⇒ y = -x

x	-1	2	-3
y	1	-2	3

‘x’ର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନପାଇଁ yର ଆନୁସଙ୍ଗିକ ମାନ ସାରଣୀରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇଛି ।
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ପାଇଁ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (- 1, 1), (2, − 2) ଏବଂ (-3, 3) ।

(iii) x – 2y = 0 ⇒ x = 2y
⇒ y = \frac{1}{2}x

x	2	-2	4
y	1	-1	2

‘x’ର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନପାଇଁ ଦୂର ଆନୁସଙ୍ଗିକ ମାନ ସାରଣୀରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇଛି ।
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ପାଇଁ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (2, 1), (- 2, – 1) ଏବଂ (4, 2) ।

(iv) x + 2y – 4 = 0 ⇒ 2y = 4 – x
⇒ y = \frac{1}{2}(4 – x)

x	0	4	2
y	2	0	1

‘x’ର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନପାଇଁ yର ଆନୁସଙ୍ଗିକ ମାନ ସାରଣୀରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇଛି ।
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ପାଇଁ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (0, 2), (4, 0) ଏବଂ (2, 1) ।

(v) x – 2y – 4 = 0 ⇒ x – 4 = 2y
⇒ y = \frac{1}{2} (x – 4)

x	0	4	2
y	-2	0	-1

‘x’ର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନପାଇଁ yର ଆନୁସଙ୍ଗିକ ମାନ ସାରଣୀରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇଛି ।
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ପାଇଁ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (0, -2), (4, 0) ଏବଂ (2, -1) ।

(vi) 2x – y + 4 = 0 ⇒ 2x + 4 = y
⇒ y = 2x + 4

x	-2	0	1
y	0	4	6

‘x’ର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନପାଇଁ yର ଆନୁସଙ୍ଗିକ ମାନ ସାରଣୀରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇଛି ।
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ପାଇଁ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (-2, 0), (0, 4) ଏବଂ (1, 6) ।

(i) kx + my + 4 = 0 ଓ 2x + y + 1 = 0 ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେଲେ k : m କେତେ ?
(ii) 2x + 3y – 5 = 0 ଓ 7x – 6y – 1 = 0 ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ (1, ß) ହେଲେ ßର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?
(ii) ‘t’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ (1, 1), ସମୀକରଣ 3x + ty – 6 = 0 ଅନ୍ୟ ଏକ ସମାଧାନ ହେବ ?
(iv) ‘t’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ (1, 1), tx – 2y – 10 = 0 ର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ହେବ ?
(v) ‘t’ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ tx + 2y = 0 ଓ 3x + ty = 0 ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ?
(vi) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 6x – 3y + 10 = 0 ଓ 2x – y + 9 = 0 ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ।
(vi) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 2x + 5y = 17 ଏବଂ 5x + 3y = 14 ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗୀତ ଓ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ।
(viii) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 3x – 5y – 10 = 0 ଏବଂ 6x – 10y = 20 ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଛି ।

ସମାଧାନ :
(i) kx + my + 4 = 0 ଏବଂ 2x + y + 1 = 0
ସମୀକରଣଦ୍ୱୟରେ a₁ = k, b₁ = m, c₁ = 4 ଏବଂ a₂ = 2, b₂ = 1, c₁ = 1
ଏଠାରେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେବାର ସର୍ତ୍ତ ,\therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}
\therefore \frac{k}{2}=\frac{m}{1} ≠\frac{4}{1} ⇒ \frac{k}{m}=\frac{2}{1}

∴ ନିଶ୍ଚେୟ ଅନୁପାତ k:m = 2:1

(ii) 2x + 3y – 5 = 0 8 7x – 6y – 1 = 0 ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସମାଧାନ (1, ß)

ଏଠାରେ ‘x’ର ମାନ 1 ଓ yର ମାନ ‘ß’ ପାଇଁ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସିଦ୍ଧ ହେବ ।

∴ 2(1) + 3(B) −5 = 0 ⇒ 2 + 3ß – 5 = 0
3ß - 3 = 0 ⇒ ß = \frac{3}{3} = 1 ⇒ ß = 1

∴ ß ର ମୂଲ୍ୟ 1 ପାଇଁ ସହସମୀକରଣର ସମାଧାନ (1, ß) ହେବ ।

(iii) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ 3x + ty – 6 = 0 ର ଏକ ସମାଧାନ (1, 1) ହେଲେ
x = 1 ଓ y = 1 ପାଇଁ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସିଦ୍ଧ ହେବ ।
∴ 3(1) + t (1) – 6 = 0 ⇒ 3 + t – 6 = 0 ⇒ t – 3 = 0 ⇒ t = 3

∴ ର ମୂଲ୍ୟ 3 ପାଇଁ (1, 1), ସମୀକରଣ 3x + ty – 6 = )ର ଏକ ସମାଧାନ ହେବ ।

(iv) ଦର ସମୀକରଣ tx – 2y – 10 = 0 ର ସମାଧାନ (1,1) ହେଲେ,
x = 1 ଓ y = 1 ପାଇଁ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସିଦ୍ଧ ହେବ ।
∴ t(1) – 2(1) – 10 = 0 ⇒ t – 2 – 10 = 0 ⇒ t – 12 = 0 ⇒ t = 12

∴ t ର ମାନ 12 ପାଇଁ (1, 1), ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ଏକ ସମାଧାନ ହେବ ।

(v) tx + 2y = 0 ଓ 3x + ty = 0
ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ହେବାର ସର୍ତ୍ତ

\therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}

\therefore \frac{t}{3} = \frac{2}{t}⇒ t² = 6 ⇒ t = ±√6

∴ t ର ମାନ ±√6 ପାଇଁ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ମାନ ସମ୍ଭବ ।

(vi) 6x - 3y + 10 = 0 ଓ 2x - y + 9 = 0

a₁ = 6 ,b₁ = -3 , c₁ = 10 ,a₂ = 2 ,b₂ = -1 ,c₂ = 9

\therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} ={3}, \frac{b_1}{b_2} \frac{-3}{-1}={3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9}
ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟକର ଯେ \therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}
∴ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ

(vii) 2x + 5y = 17 ⇒ 2x + 5y – 17 = 0….. ..(1)
5x + 3y = 14 ⇒ 5x + 3y – 14 = 0………(2)
ସମୀକରଣ (1) ଓ (2) ରୁ a1 = 2, b1 = 5, c1 = – 17 ଓ a2 = 5, b2 = 3, c2 = – 14

\therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5} , \frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{-17}{-14}= \frac{17}{14} ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଯେ

\therefore \frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}

∴ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ଓ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର

(viii) 3x – 5y – 10 = 0;
6x – 10y = 20 ⇒ 6x – 10y – 20 = 0 ସମୀକରଣ (1) ଓ (2) ରୁ a1 = 3, b1 = -5, c1 = – 10 ଓ a2 = 6, b2 = -10, c2 = – 20 \therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{-10}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{-10}{-20}=\frac{1}{2} ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଯେ \therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}